중학 수학 개념-거듭제곱, 소수, 합성수

 

1.거듭제곱

거듭해서 곱을 하다

→정의를 보면 알 수 있듯이 단순히 곱셈을 여러 번 한 것에 불과하다.

 

예를 들어보자 2x2x2x2라는 수식이

있다. 이 정도 길이는 쉽게 쓸 수 있다. 하지만 2를 100번 곱하면? 9를 30000번 곱하면? 저렇게 쓰는 것은 굉장히 비효율적이다. 수학은 효율성을 중시하므로 우리는 효율적으로 저 수식을 어떻게 쓸것인지 약속했다. 이것이 거듭제곱이다.

→약속은 그냥 암기하고 적용시키면 된다. 예를 들면 크고 코가 길고 귀가 크고 등등의 특성을 가진 집합체를 코끼리라고 정의했다. 우리가 필요한 것은 코끼리의 모습을 보고 코끼리라고 떠올리는 것이다. 마찬가지로 거듭제곱을 보고 효율적으로 쓴 것이구나라고 생각하면 된다. 큰 기교가 필요하지 않다.

 

ex) (n번곱함)

→ a를 n번 곱한 것을 이라고 간단히 표현한 것에 불과하다.

 

여기서 a를 밑이라고 부른다. a를 몇 번 곱했는지 나타내는 n을 지수라고 부른다.

를 a의 거듭제곱이라고 부른다.

 

-읽는 법:

→순서대로 a의제곱,a의세제곱,a의네제곱이라고 읽는다

 

궁극적으로 거듭제곱은 곱셈만 잘하면 된다.

 

(1)5x5x5x5=? (2) 3x3x3=? (3) 7x7=? (4) 9x9x9x9x9x9x9=?

 

정답:

 

 

2.소수와 합성수

 

1)소수

1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수

→약수가 2개인 자연수

 

무엇이 있는지 잠시 생각하며 추론해보자

 

ex) 2,3,5,7,11,13,17,19,23... 등이 있다.

 

기본적으로 짝수에서는 2만 있고 홀수는 셀 수 없이 많다. 어렵다고 생각할 필요없이 새로운 정의에 불과하다. 앞서 말한 것처럼 소수를 보고 이것이 소수인지만 알면 된다. 암기해놓으면 편리하게 사용할 수 있다.

 

 

 

-tmi

리만가설이 무엇인가?

 

베른하르트 리만이 내세운 소수의 규칙성에 관한 가설이다. 앞서 말했듯이 소수는 끝이 있는 지 모른다, 규칙성 또한 모른다. 천재 수학자 가우스는 소수의 규칙성을 연구했다. 연구를 하면서 대략적인 소수의 분포를 알아내는 함수를 찾게된다. 이후에 베른하르트 리만은 오일러의 함수를 변형해서 그래프를 만들었다. 놀랍게도 근은 입체적인 그래프상에서 일직선상에 일치했다. (근을 소수라고 생각하면 편하다) 그는 다른 근 모두 일직선상에 있을 것이다라고 추측했다. 또한 소수의 규칙성과 관련될 것이다라고 생각했다, 이것이 간단하게 설명한 리만 가설이다.

이후 많은 수학자들이 증명에 도전했다. 하지만 모두 실패했다. 일직선상에 수많은 근들이 존재한다는 것은 알았다. 하지만 일직선을 벗어난 곳에 근이 있을 가능성이 존재했다. 리만 가설과 관련해서 많은 수학자들을 정신병에 걸리게 한 가설이라는 낭설이 있다. 하지만 모두 루머에 불과하다. 현재도 관련 연구와 논문이 발표되고 있다.

현대에서는 리만 가설이 우주의 근본과 연결되어있는 것이 밝혀졌다. 소수의 비밀과 관련 있는 식이, 우주를 연구하는 입자물리학에서 사용되는 식과 같다는 것이 밝혀졌다, 소수의 비밀이 곧 우주의 근원과 관련이 있는 것이 아닌가 하는 추측이 있다.

 

2)합성수

1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수

→약수가 3개 이상인 자연수이다.

→1을 제외하고 소수를 제외한 모든 자연수라고 생각하면 좋다.

 

무엇이 있는지 잠시 생각하며 추론해보자

 

ex)4,6,8,9,10,12,14,15...등이 있다.

 

 

-소수와 합성수는 그 자체를 물어보기보다는 특수한 상황이나, 이를 활용한 문제들이 많이 나온다. 소수와 합성수를 많이 봐서 익숙해지는 것이 중요하다. 어떤 수를 보았을 때 이 수가 어디에 속하는지 판단하는 능력을 길러보자. 수학은 거듭제곱을 곱셈으로 생각할 수 있는 쉽게 생각하는 능력, 두려워하지 않고 받아들이고 암기하는 능력, 받아들인 것을 어디에 사용할지 고민하는 능력이 중요하다.

 

과제:소수와 합성수를 각각 작은 수부터 10개씩 찾아보고 익숙해져보자, 소수와 합성수가 어떻게 문제에 적용될까 생각해보자.

 

소수:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

합성수:,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18

 

복습 방법은 백지 노트를 펴서 오늘 수학 개념을 써보자